Tunelare Cuantică

Undă de probabilitate, nu traiectorie

În mecanica cuantică, electronul nu este o bilă cu poziție și viteză bine definite înainte de măsurare. Este descris de o funcție de undă \(\psi(x,t)\), o mărime complexă care evoluează conform ecuației Schrödinger.

i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + V(x)\,\psi

\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x,t)|^2 \, dx = 1

Un pachet gaussian localizează \(\psi\) în spațiu și se propagă ca grup; lățimea \(\Delta x\) și impulsul \(\Delta p\) respectă (în ordinea mărimii) relația \(\Delta x\,\Delta p \gtrsim \hbar/2\).

Zona roșie: barieră de potențial \(V(x)\). Sliderul Energie fixează energia asociată pachetului în scala demo; Barieră controlează înălțimea \(V\). Raportul \(E/V\) decide dacă domină tunelarea sau trecerea „peste”.

incidentă reflectată transmisă |ψ|² (normalizat)

Energie: Barieră:

Tunelare, reflexie și transmisie

Clasic, dacă \(E \lt V\), o particulă cu energie \(E\) nu ar trece peste barieră. Cuantic, în regiunea \(V(x) > E\) soluția are parte evanescentă \(\propto e^{-\kappa x}\) cu

\kappa = \frac{\sqrt{2m\,(V - E)}}{\hbar}

Astfel unda pătrunde în barieră și, după lățimea \(a\), poate ieși dincolo cu probabilitatea de transmisie \(T\) (tunelare). Pentru \(E > V\) în interiorul barierei, unda este oscilantă (\(\sim e^{\pm i k' x}\)); la interfețe apar reflexie și transmisie parțiale.

$$ R + T = 1 $$

Pentru o barieră dreptunghiulară de înălțime \(V_0\) și lățime \(a\), cu \(E \lt V_0\), transmisia scade aproximativ exponențial cu \(\kappa a\): \(T \sim e^{-2\kappa a}\) (ordin de mărime; factori frontali depind de detalii). În simulare, \(R\) și \(T\) sunt modele analitice simplificate.

$$ \begin{aligned} T &= \frac{4 k_1^2 k_2^2}{4 k_1^2 k_2^2 + (k_1^2 - k_2^2)^2 \sin^2(k_2 a)} \\[0.55em] k_1^2 &= \frac{2mE}{\hbar^2}, \qquad k_2^2 = \frac{2m(E-V_0)}{\hbar^2} \end{aligned} $$ pentru \(E \gt V_0\) (barieră dreptunghiulară).

Vizualizarea este educativă; coeficienții exacți rezultă din potrivirea lui \(\psi\) și \(\mathrm{d}\psi/\mathrm{d}x\) la limitele barierei.